前回(2)ではランダムウォークの経路に制限をつけませんでしたが、今回は一度も原点に戻らないという条件をつけます。

＜経路ダイアグラム＞
前回(2)の経路ダイアグラムから i=0 を経由する経路の寄与を取り除くと右の図が得られます。 〇の数値と2^-kの積が求めている確率 p_a(i,k) です。

図のp_a(i,k)を前回のp_a(i,k)で割った比が右の図です。

  p_a(i,k)=(|i|/k)p(i,k)

という関係のあることが分かります。

原点には一度も戻らないが、最後に原点に戻る経路の確率を求めます。最後が k=6 であれば右図の通り 4/64 です。

＜最後に原点に戻る確率 p_b(k)＞

k歩目が最後だとすると、(k-1)歩までは一度も原点に戻らないので

  p_b(k)=[p_a(-1,k-1)+p_a(1,k-1)]/2=(1/k-1)p(1,k-1)
 =1/(k-1)･p(k/2,k)